Azt, ami a legjobb a matematikában, nemcsak feladatként érdemes megtanulnunk, hanem a magunkévá kell tennünk mindennapi gondolkodásunk részeként és mindig megújuló bátorításként egyre fel kell idéznünk elménkben.
Bertrand Russell, 1902
Wald Ábrahám és a hiányzó lövedéknyomok
A történet sok más második világháborús történethez hasonlóan azzal kezdődik, hogy a nácik elüldöztek Európából egy zsidót, és azzal végződik, hogy ezt megbánták. Wald Ábrahám 1902-ben született Kolozsvárott, az akkori Osztrák–Magyar Monarchia területén. Kamaszkorára egy világháború már bekerült a könyvekbe, szülővárosa pedig – Cluj néven – immár Romániához tartozott. Nagyapja rabbi volt, apja kóser pék, de a fiatal Wald érdeklődése már nagyon korán a matematika felé fordult. Tehetségét hamar felismerték, és felvették a Bécsi Egyetem matematika szakára, ahol olyan, a tiszta matematika mércéje szerint is absztrakt és rejtélyes témák vonzották, mint a halmazelmélet és a metrikus terek.
Mire Wald befejezte tanulmányait, az 1930-as évek Ausztriája mély gazdasági válságba süllyedt, és egy külföldiből nem lehetett professzor Bécsben. Waldot Oskar Morgenstern állásajánlata mentette meg. Morgenstern később az Egyesült Államokba emigrált, és részt vett a játékelmélet kifejlesztésében, de 1933-ban még az Osztrák Közgazdasági Kutatóintézet igazgatója volt, és Waldot alkalomszerűen matematikai munkákkal látta el szerény javadalmazás mellett. Ez a tevékenység hasznosnak bizonyult Wald számára: közgazdasági jártassága miatt ösztöndíjas állásajánlatot kapott a Cowles Bizottságtól, egy akkor Colorado Springsben működő gazdasági intézetben. Az egyre romló politikai helyzet ellenére Wald nehezen szánta rá magát, hogy végleg búcsút intsen az elméleti matematikának. Ausztria megszállása azonban megkönnyítette számára a döntést. Néhány, Coloradóban töltött hónap után a Columbia Egyetemen, a statisztikai részlegen kapott professzori állást, így újra összecsomagolt, és New Yorkba költözött.
Ezen a helyen vívta meg a maga háborúját.
A második világháború alatt Wald a Statisztikai Kutatócsoport (SKCS) nevű különleges program keretében dolgozott. Ez a program a háborús célok érdekében egyesítette az amerikai statisztikusok szellemi kapacitását – kicsit hasonlóan a Manhattan-tervhez, csak itt bombák helyett egyenleteket fejlesztettek ki. Mellesleg az SKCS tényleg Manhattanben volt, Morningside Heightsban, a Nyugati 118. utca 401. szám alatt, néhány háztömbnyire a Columbia Egyetemtől. Az épületben most a Columbia professzori lakásai, valamint orvosi rendelők találhatók, de 1943-ban itt zsongott és vibrált a háborús matematika idegközpontja. A Columbia Alkalmazott Matematikai Csoportjában fiatal nők tucatjai görnyedtek a Marchant asztali kalkulátorok fölé, és számolták a vadászgépek optimális pályaívét, hogy az ellenséges repülőket lőtávolon belül tartsák. Egy másik lakásban princetoni kutatók a stratégiai bombázások menetrendjét készítették. A szomszéd szobában pedig az atombombaprojekt columbiai részlege működött.
De mind között az SKCS volt a legnagyobb, és végső soron a legbefolyásosabb csoport. Légköre egy egyetemi tanszék intellektuális nyitottságát és hatékonyságát ötvözte a cél érdekében közösen vállalt felelősség érzésével, ami csak akkor tapasztalható, ha igazán nagy dolgok forognak kockán. „Ajánlásokat tettünk, miközben gyorsan peregtek az események – írta később W. Allen Wallis igazgató. – A vadászgépek harcba bocsátkoztak a Jack Wolfowitz javaslata alapján vegyes típusú lőszerrel feltöltött géppuskáikkal, és a pilóták vagy visszatértek, vagy nem. A hadihajók kilőtték a rakétákat, amelyek hajtóanyagát Abe Girshick mintavételi tervei alapján hagyták jóvá, és azok vagy a saját repülőgépeinket és pilótáinkat találták el, vagy valóban a célpontot semmisítették meg.”
A rendelkezésre álló matematikai tehetség összhangban állt a feladat nehézségével. Wallis szavaival, az SKCS „a valaha létrejött legkülönlegesebb statisztikai kutatócsoport volt, mind a résztvevők száma, mind azok minősége tekintetében”. Ott volt Frederick Mosteller, a Harvard majdani statisztika tanszékének létrehozója.
Ugyanígy Leonard Jimmie Savage, a döntéselmélet úttörője és az utóbb Bayes-statisztikáknak nevezett terület nagy pártfogója.[1] Időnként megjelent a kibernetika atyja, Norbert Wiener az MIT-ről. Olyan csoport volt ez, ahol Milton Friedman, a későbbi közgazdasági Nobel-díjas gyakran csak a negyedik legokosabb ember volt a szobában.
A szoba legokosabb emberének általában Wald Ábrahámot tartották. Wald volt Wallis tanára a Columbián, és a csoport matematikai eminenciásaként működött. „Ellenséges idegenként” formálisan el volt tiltva azoktól a bizalmas jelentésektől, amelyeket ő maga írt; az SKCS-ben az a vicc járta, hogy a titkárnőknek azonnal ki kell tépniük Wald kezéből minden egyes papírlapot, amint azt teleírta. Wald bizonyos szempontból nem látszott sikerrel kecsegtető munkatársnak. Mindig is az absztrakció felé hajlott, nem kedvelte a közvetlen alkalmazásokat. Ám motivációja, hogy tehetségét a tengelyhatalmak ellen hasznosítsa, nyilvánvaló volt. És amikor egy kósza ötletből rendes matematikát kellett fabrikálni, arra Wald volt a megfelelő ember.
Íme a feladat. Mivel nem akarjuk, hogy az ellenséges vadászok lelőjék a repülőgépeinket, páncélzattal látjuk el azokat. A páncél azonban megnöveli a gép súlyát, ettől nehezebben manőverezhető, és több üzemanyagot fogyaszt. Ha túl sok a páncélzat, az is baj; ha túl kevés, az is. Valahol a kettő között van az optimum. És azért zártak össze egy csomó matematikust egy New York-i lakásba, hogy megtalálják ezt az optimumot.
A katonaság átadott néhány hasznosnak vélt adatot az SKCS-nek. Amikor az amerikai gépek visszatérnek az európai bevetésekből, tele vannak golyó ütötte lyukakkal. Ezek azonban nem egyformán oszlanak el a gép felületén. A törzsön több lyuk van, a hajtóműnél kevesebb.
| A repülőgép részei | Golyónyomok négyzetlábanként |
| Hajtómű | 1,11 |
| Törzs | 1,73 |
| Üzemanyagrendszer | 1,55 |
| A gép többi része | 1,8 |
A tisztek a következőt gondolták ki a hatékonyság növelésére; ugyanazt a védelmet kevesebb páncél felhasználásával is elérhetjük, ha a páncélzatot a gépnek azokra a részeire koncentráljuk, ahol a legnagyobb szükség van rá, vagyis ahol a gépeket a legtöbb találat éri. De pontosan milyen vastag legyen a páncél ezeken a részeken? Ezzel a kérdéssel keresték meg Waldot. De nem a remélt választ kapták.
A páncél nem oda kell, mondta Wald, ahol sok a lyuk. Oda kell, ahol nincs lyuk: a hajtóműre.
Wald éleslátása a következő egyszerű kérdésben nyilvánult meg: hol vannak a hiányzó lyukak? Azok, amelyek mindenütt megtalálhatók lennének a burkolaton, ha a lövések egyenletesen oszlanának meg a gépen. Wald meglehetősen biztos volt a válaszban. A hiányzó lyukak a hiányzó gépeken vannak. Azért volt a visszatérő gépek hajtóművein kevés golyónyom, mert amelyik gépnek a hajtóművét találták el, az általában lezuhant. Ugyanakkor az ementáliszerűen kicsipkézett törzzsel visszatérő gépek nagy száma erős bizonyíték arra, hogy a törzset ért találatok megengedhetők (és így megengedendők). Egy hadikórházban sokkal több olyan lábadozót látsz, akinek a lábát lőtték meg, mint akinek a mellkasát. De ennek nem az az oka, hogy az embereket nem lövik mellbe, hanem az, hogy akit mellbe lőnek, az többnyire nem marad életben.
Íme, egy ősi matematikai trükk, amelynek segítségével teljesen tisztázhatjuk a kérdést: tegyünk néhány változót nullával egyenlővé. Jelen esetben legyen ez a változó annak a valószínűsége, hogy ha egy gép hajtóművét eltalálják, azért a levegőben tud maradni. Ha ezt nullává tesszük, azt jelenti, hogy egyetlen lövés a hajtóműre garantáltan leszedi a gépet. Hogyan néznének ki ekkor az adatok? A visszajövő gépeken mindenhol lennének lyukak, a szárnyakon, a törzsön, az orron, csak a hajtóművön nem. A katonai elemző ezt kétféleképpen magyarázhatja: vagy a német lövedékek egy kivételével a gép minden részét érik, vagy pedig a hajtómű a legsebezhetőbb. Mindkét vélekedés megmagyarázza az adatokat, csak az utóbbi jóval hihetőbb. A páncélt tehát oda kell tenni, ahol nincsenek lyukak.
Wald javaslatait gyorsan megvalósították. Sőt a haditengerészet és a légierő még a koreai és a vietnami háborúban is ezt a módszert alkalmazta. Nem tudom megmondani, hogy pontosan hány gépet mentett meg Wald ötlete, de az SKCS-nek a mai hadseregben működő adatvirtuóz utódai minden bizonnyal igen. Az amerikai védelmi rendszer vezetői azt hagyományosan nagyon jól tudják, hogy egy ország nem azért nyer meg egy háborút, mert bátrabb, szabadabb a másik félnél, vagy mert Isten jobban szereti. Általában azok győznek, akiknek 5%-kal kevesebb repülőjét lövik le, vagy 5%-kal kevesebb üzemanyagot használnak, vagy 5%-kal jobban tudják táplálni a gyalogságot, ráadásul 95%-os költséggel. A háborús filmeket nem ezeknek az adatoknak az alapján készítik, de a háborút így vívják.
És minden lépésben ott van a matematika.
Miért látta Wald azt, amit a légi csatáról sokkal többet tudó és értő tisztek nem láttak? Ez a matematikán edződött gondolkodásmódjának köszönhető. Egy matematikus mindig azt kérdezi: „Milyen feltevésekkel dolgozunk? Mennyire megalapozottak ezek a feltevések?” Ez a következetesség néha bosszantó lehet. Máskor viszont nagyon hatékony. Jelen esetben a tisztek akaratlanul is a következő feltevéssel éltek: a visszatérő gépek az összes gép egy véletlen mintáját adták. Ha ez igaz lenne, akkor az összes gépre vonatkozó golyónyomok eloszlására valóban lehetne következtetni a visszatérő gépek golyónyomainak a vizsgálatából. Amint tisztán látjuk a feltevést, azonnal látszik, hogy az alapvetően hibás; semmi sem indokolja, hogy a gépek túlélése egyformán valószínű, akárhol találják is el őket. A 15. fejezetben tárgyalandó matematikai zsargonnal élve, a túlélési esély és a lyukak elhelyezkedése között korreláció áll fenn.
Wald másik előnye volt az absztrakcióra való hajlama. Wolfowitz, Wald tanítványa a Columbián, azt írta, hogy a Wald által kedvelt problémák „valamennyien nagyon absztrakt jellegűek voltak”, és „bármikor szívesen beszélt matematikáról, de nem érdekelte a népszerűsítés vagy a speciális alkalmazások”.
Wald – egyéniségéből fakadóan – alkalmazási kérdésekre nehezen tudott fókuszálni. A repülőgépek és a fegyverek részletei az ő szemében csak a fedőkárpitot jelentették, amelyen keresztülnézve jutott el a dolognak támaszt és rögzítést adó matematikáig. Ilyen megközelítésben néha nem veszed figyelembe a probléma néhány fontos vonatkozását. Ugyanakkor láttatni engedi a felszíni kinézet alapján nagyon különbözőnek tűnő problémák közös vázát. Így általunk ismeretlen területeken is fontos tapasztalatokat tudunk szerezni.
Egy matematikus értelmezésében a golyónyomok problémájának mélyén a túlélési torzítás nevű jelenség áll. Ez a legkülönfélébb összefüggésekben újra és újra előbukkan. És ha – mint Wald – tisztában vagyunk vele, akkor azonnal felismerjük, akárhogy bujkáljon is.
Vegyük például a befektetési alapokat. Ezek hozamának mérése olyan terület, ahol egy picit sem szeretnénk tévedni. Az évi növekedés 1%-os változása egy értékes pénzügyi konstrukcióból bóvlit csinálhat, és fordítva. A Morningstar (amerikai tanácsadó intézet) nagyvállalati kategóriába tartozó alapjai, amelyek lényegében az S&P 500 tőzsdeindexhez tartozó nagy vállalatokba fektetnek be, az első változatot látszanak megtestesíteni. Ebben az osztályban az alapok átlagosan 178,4%-kal nőttek 1995 és 2004 között, ami egy nagyon egészséges 10,8%-os évi növekedés.[2] Ezért jó üzletnek tűnhet, ha készpénzünket ezekbe az alapokba fektetjük be.
Hát nem az. A Savant Capital egy 2006-os tanulmánya kicsit más megvilágításba helyezte ezeket a számokat. Gondoljunk bele, hogyan generálja a Morningstar a számait. 2004-et írunk, vesszük az összes nagyvállalati kategóriába tartozó alapot, és megnézzük, mennyit nőttek az elmúlt tíz év alatt.
Valami azonban hiányzik a képből: azok az alapok, amelyek már nem léteznek. A befektetési alapok sem élnek örökké. Egyesek virágoznak, mások megszűnnek. És általában a tönkremenők azok, amelyek nem fialnak pénzt. Így ha a befektetési alapok évtizedes teljesítményét az időszak végén is létezők alapján próbáljuk megítélni, az ugyanolyan, mintha a pilótáink kitérési manővereit a visszatérő gépek golyónyomainak száma alapján értékelnénk. Mit is jelentene, ha soha nem találnánk egynél több golyónyomot egyetlen gépen sem? Semmiképpen sem azt, hogy a pilótáink zseniálisan képesek kijátszani az ellenséges tüzet, hanem inkább azt, hogy a kétszer eltalált gépek kigyulladtak és lezuhantak.
A Savant-tanulmányból kiderült, hogy ha a döglött alapok teljesítményét is figyelembe vesszük, akkor a hozamráta 134,5%-ra esik vissza, ami a már nem kiemelkedő évi 8,9%-nak felel meg. Az újabb kutatások is megerősítették ezt: a Review of Finance folyóiratban 2011-ben megjelent, több mint 5000 alapot vizsgáló összefoglaló tanulmány kimutatta, hogy a 2641 túlélő alaphozamrátája mintegy 20%-kal magasabb, mint ha az időközben megszűnt alapokat is figyelembe vesszük. A túlélési hatás mértéke lehet, hogy meglepte a befektetőket, de biztosan nem lepte volna meg Wald Ábrahámot.
Jordan Ellenberg: Hogy ne tévedjünk – A mindennapi élet rejtett matematikája
Fordította Freud Róbert és Seres Iván, szakmai szempontból ellenőrizte Besenyei Ádám. Park Könyvkiadó, 2016
Jordan Ellenberg a Wisconsini Egyetem matematikaprofesszora. Könyve 2016-ban az USA-ban elnyerte a legjobb matematikai ismeretterjesztő könyvért járó Euler-díjat.
[1] Savage majdnem teljesen vak volt, csak az egyik szemének a sarkából látott, és egyszer hat hónapig szárított húson élt, hogy bebizonyítson egy állítást a sarkvidéki kutatásról. Gondoltam, ezt érdemes megemlíteni.
[2] Sőt maga az S&P 500 index még jobban teljesített, 212,5%-ot nőtt ugyanebben az időszakban.https://ematlap.hu/konyvespolc-2017-03/443-hogy-ne-tevedjunk-wald-abraham-es-a-hianyzo-lovedeknyomok